O húngaro Paul Erdős, morto em 1996 e considerado um dos matemáticos mais prolíficos do século passado, propôs em 1946 uma conjectura que por quase 80 anos permaneceu válida sem que ninguém conseguisse refutá-la – até um modelo de inteligência artificial demonstrar que ela estava errada.
O problema em questão é o das distâncias unitárias no plano. Quantos pares de pontos são possíveis em um plano sendo que cada um desses pares tenha sempre a mesma distância entre os pontos?
Complicado? Imagine quatro pontos formados pelos vértices de um quadrado. Há quatro pares de pontos a uma mesma distância unitária.
Na conjectura – termo matemático para ‘suposição’ – de Erdős, a melhor solução conhecida seria distribuir os pontos em uma grade quadrada, como na representação abaixo.
Mas um modelo da OpenAI encontrou um arranjo diferente e que oferece um número muito maior de combinações possíveis, apresentando um contraexemplo que finalmente refutou a clássica solução de Erdős.
A resposta causou comoção na comunidade de pesquisadores da matemática porque não envolveu somente o uso da força bruta do poder computacional. A máquina chegou à resposta de maneira ‘criativa’, usando conhecimentos novos para além da geometria.
Em uma visualização simplificada, a distribuição seguiria o padrão abaixo, com as linhas vermelhas demonstrando os pares de distância unitária idêntica.
O resultado foi revisado e confirmado por grandes matemáticos – embora muitos ainda questionem até que ponto houve direcionamento humano e se a máquina de fato agiu autonomamente, como diz a OpenAI.
A cada dia mais, os modelos de AI estão sendo aplicados na resolução de diversos problemas históricos da matemática – acelerando as pesquisas da mesma maneira que ocorre hoje em campos como a biologia e a química.
As mais de 1.200 conjecturas legadas por Erdős têm sido um dos principais campos de teste para as ferramentas de AI. Quase 700 delas continuam em aberto – como era o caso, até recentemente, do problema 90, decifrado pela OpenAI.
Recentemente, um estudante de Cambridge usou um modelo da OpenAI para resolver o problema 728 de Erdős. Desde o final do ano passado, pelo menos 15 dos problemas apresentados pelo húngaro deixaram de ser classificados como ‘em aberto’ e passaram a ser considerados ‘resolvidos’. Segundo o TechCrunch, em pelo menos 11 casos a resolução empregou sistemas de AI.
A DeepMind, criadora do AlphaFold – modelo de AI usado para a descoberta de estruturas de proteínas –, desenvolveu sistemas específicos para o uso na matemática, entre eles o AlphaTensor, projetado para buscar novas maneiras de multiplicar matrizes.
Essas operações matriciais estão na base da computação gráfica e do machine learning. O sistema da DeepMind descobriu milhares de algoritmos de multiplicação.
Na China, pesquisadores da Peking University dizem ter usado AI para resolver a Conjectura de Anderson, um problema de álgebra proposto em 2014 pelo americano Dan Anderson que trata da fatoração de anéis.
A discussão em fóruns de matemáticos é se os sistemas de AI ‘apenas’ estão se valendo de sua enorme capacidade computacional para identificar soluções já possíveis pelo conhecimento disponível – ou se de fato a máquina é capaz de produzir ciência.
Marcelo Viana, o diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), está entre os estudiosos que preferem manter um certo ceticismo em relação à capacidade da máquina de superar o raciocínio e a imaginação dos seres humanos, mas reconhece que as investigações na disciplina passam por uma profunda transformação. O trabalho que antes exigia anos agora leva dias – se tanto.
“A AI tem a capacidade de identificar mais rapidamente uma conjectura errada,” Viana disse ao Brazil Journal. “Isso economiza o seu tempo de verificar e tentar provar algo que na verdade é falso.”
Para além da ampliação das fronteiras da ciência, o que move as startups de AI a derrubar conjecturas históricas é o interesse comercial: desenvolver essa tecnologia ajuda no próprio aprimoramento de softwares, explicou Viana.
Nesta conversa, o diretor do IMPA fala sobre o impacto da AI na pesquisa da matemática e faz conjecturas sobre o futuro da ciência.
Como os matemáticos estão recebendo o crescente uso da AI? É algo positivo para desenvolver o conhecimento nesse campo da ciência?
Estamos vendo vários tipos de reações. Em alguns segmentos há um hype acentuado; em outros, um pânico generalizado. Há muitos interesses envolvidos, precisamos ver as coisas com um pouco mais de transparência.
Isso não está acontecendo por acaso. Há várias startups sendo criadas, vendo aí uma oportunidade de negócio. O motor por trás disso é o legítimo interesse comercial.
Qual o interesse de empresas usarem a AI para solucionar teoremas e conjecturas da matemática?
A AI generativa consegue produzir códigos, programas de computador.
Empresas estão jogando fora os códigos que desenvolveram durante anos, e a AI faz em segundos. Só que faz com erros. A AI erra.
Isso é grave, porque estamos falando de um software que pode ser de um banco, por exemplo. É importante ter métodos para verificar software de maneira automática.
Acontece que um programa de computador e uma demonstração de um teorema matemático são a mesma coisa, são coisas equivalentes. Se você tem instrumentos para verificar que as demonstrações matemáticas estão corretas, você está desenvolvendo ferramentas para atender a uma necessidade comercial potencialmente bilionária.
Essa é a motivação. Os meus colegas se perguntam se as empresas estão pensando no melhor interesse da matemática. Claro que não estão! Estão pensando no seu próprio melhor interesse, como sempre acontece. Então, tem havido bastante desenvolvimento. E devo dizer que, pela minha experiência, aquilo que a AI já está fazendo hoje em dia é impressionante.
Qual a sua impressão sobre a resolução do teorema das distâncias unitárias de Erdős pela OpenAI? Será um marco na história da matemática?
Era um problema que estava em aberto há mais de 50 anos, e realmente a máquina resolveu. Você pode perguntar, ‘e por que ninguém resolveu antes?’
Na verdade, não sabemos bem o que aconteceu nesse caso da OpenAI. Não temos documentação que nos permita saber o quanto de intervenção humana existiu nesse processo.
Não quero ficar aqui tirando o mérito da AI. Não podemos ser arrogantes e achar que a AI não consegue fazer.
Até porque sou da geração que tinha certeza de que a máquina não ganharia do humano no xadrez – e acabou ganhando. E não se tratou somente de um ‘músculo’ computacional. Foi criatividade também, de alguma forma.
Então, a máquina tem mérito. Mas quando a gente quer fazer uma interpretação do que aconteceu, seria muito bom sabermos ao certo como foi feito. Por isso mantenho uma certa dose de ceticismo, nesse caso.
Para a OpenAI, convém dar todo o crédito à AI pela realização. Mas nós, humanos, temos vários conflitos de interesse. A OpenAI tem um conflito de interesse gigantesco, valorizando o produto dela.
E nós temos conflitos de interesse porque, francamente, não queremos ser expulsos do lugar central que nós temos. Somos o único ente pensante do universo.
Já moramos no centro do universo, num planeta que estava parado e todo mundo girava à nossa volta. Fomos tirados daí. Estamos agora perdendo outra posição que imaginávamos ter na hierarquia do universo. E esse é mais um golpe.
Ainda sobre esse caso do teorema, há outro ponto que é um pouco desculpa de mau perdedor, mas é legítimo.
O que seria?
O que a inteligência artificial fez foi ‘desprovar’ a conjectura – mostrar que era falsa.
Tivemos décadas para fazer isso e ninguém fez, é verdade. Mas alguns especialistas estão dizendo que não seria tão difícil, porque as ferramentas teóricas já existiam, apenas não foram aplicadas nesse caso.
A AI não precisou inventar as ferramentas. A máquina teve que juntar um monte de coisas, mas isso a AI faz bem, porque ela tem acesso a todo tipo de informação.
Em resumo, diria que foi um evento relevante. Mas duvido que vá entrar para a história como o momento em que a AI ganhou. Continuo cético em relação a isso.
Mas vamos ter a AI provando e desprovando outros grandes teoremas por métodos que ninguém havia imaginado. E vamos ter que engolir isso aí.
Como isso transforma a pesquisa da matemática?
No final de 2024, perguntei aos colegas se deveríamos assinar o serviço pago para uso profissional. Tive uma reação muito morna.
Assinamos assim mesmo, e estamos experimentando.
Agora, com tudo isso acontecendo, eu sinto que temos que evoluir. Então, voltei a perguntar – e o resultado foi completamente diferente.
Tem um grupo formado, sobretudo por colegas jovens, que estão usando a AI como ferramenta de pesquisa, de forma ética, como assistente.
Já há colegas jovens aqui para os quais é impensável fazer pesquisa como eu fiz durante décadas. A tendência, à medida que a AI for ficando mais poderosa, é que vá ocupando um espaço cada vez maior.
Até onde vai? Não tenho bola de cristal. Vamos para um mundo distópico de uma super inteligência artificial que domina o mundo? Não sei dizer – e dependerá um pouco de nós também.
Mas a pesquisa da matemática já mudou completamente. Isso é claríssimo.
Quais as suas maiores preocupações quanto ao uso dessa tecnologia?
O que é preocupante é o uso irresponsável.
Um exemplo é o Judiciário. Até que ponto decisões, sentenças estão sendo influenciadas pelas debilidades que a inteligência artificial pode trazer?
É óbvio que ela pode trazer uma produtividade mais alta. Mas já vi histórias de advogados espertos que estão colocando mensagens subliminares dentro da letra branca, invisível para o humano, que a AI vai ler no arquivo judicial, e que potencialmente influencia a máquina a dar uma sentença favorável.
A quantidade de riscos envolvidos é tão grande que o uso irresponsável e antiético vai acontecer. Já está acontecendo.
Especificamente no campo da matemática, como será o futuro? A AI vai propor novas conjecturas? Como ela poderá ajudar na expansão do conhecimento nessa área?
Você usou uma palavra mágica para a gente: conjectura. É típica de matemática.
Conjecturas são chutes. Você tenta imaginar, tenta intuir o que é verdade e se você tem convicção de que é verdade, você tenta provar.
Antes de provar alguma coisa, você tem que imaginar que essa coisa seja verdadeira. Muitas das conjecturas acabam se revelando erradas.
A AI tem a capacidade de identificar, mais rapidamente, uma conjectura errada. Isso economiza o seu tempo de verificar e tentar provar algo que na verdade é falso.
Então, é uma forma muito clara de aumentar muito a produtividade de quem faz matemática.
Há uma linguagem de programação, a Lean, criada um brasileiro que trabalhava na Microsoft [Leonardo Moura, hoje na AWS], que foi concebida para automatizar a verificação de softwares.
Você pega o programa que você quer verificar, transcreve com a linguagem Lean, e se você vai até o fim nessa transcrição, isso prova que o seu programa estava correto.
O pessoal está fazendo a mesma coisa em demonstrações de teoremas. O matemático vai verificando o avanço dele fazendo a transcrição para a Lean. É meio como ir registrando em cartório, para garantir que aquilo que ele fez para trás está correto, e ele pode avançar.
Há demonstrações que demoraram anos para fazer essa transcrição, é algo chatinho. Só que agora, com a AI, é possível fazer rapidamente. O que demorava anos agora está demorando dias.
É outra maneira como a matemática vai mudar completamente.
O meu grande ídolo, Henri Poincaré [1854-1912], afirmou que a intuição é o ponto fundamental da matemática.
Ele não era muito bom de rigor, tem vários teoremas que ele propôs e nunca provou, mas o ponto forte dele era a intuição – e por isso ele valorizava muito a intuição.
Ele estaria horrorizado com a ideia de que alguém pega um teorema e joga nele uma linguagem automática. Era a antítese do que Poincaré teria gostado.
Mas isso será feito, até porque cria uma base de dados que poderá ser usada por todos, em um efeito multiplicador, para provar outras coisas.
O que estou dizendo é não apenas ter certeza de que a prova está correta. É escrevê-la numa linguagem que depois pode ser lida amplamente, online, e o resultado seria usado para provar outros teoremas e em outras aplicações.
A matemática é sempre construída sobre dados que já existem.
